记fn(x，y)＝(x+y)n−(xn+yn)，其中x，y为正实数，n∈N+．给定正实数a，b满足a＝bb−1．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，fn（a，b）≥fn（2，2）．

Question

记fn(x，y)＝(x+y)n−(xn+yn)，其中x，y为正实数，n∈N₊．给定正实数a，b满足a＝(b)/(b−1)．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，f_n（a，b）≥f_n（2，2）．

Answer 1

证明：欲证不等式为（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹
（1）当n=1时，不等式左边=0，右边=0，不等式成立；
（2）假设n=k时，不等式成立，即（a+b）^k-a^k-b^k≥2^2k-2^k+1
由正实数a，b满足a＝(b)/(b−1)，可得a+b=ab
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2√(ab)，∴ab≥4，a+b=ab≥4，∴akb+abk≥2√((ab)k+1)＝2k+2
则n=k+1时，不等式左边=（a+b）^k+1-a^k+1-b^k+1=（a+b）[（a+b）^k-a^k-b^k]+a^kb+ab^k
≥4（2^2k-2^k+1）+2^k+2=2^2k+2-2^k+2
即n=k+1时成立
由（1）（2）可知，正实数a，b满足a＝(b)/(b−1)，为（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹．