已知数列{an}的n项和为Sn,且对任意n属于N*有an+Sn=n,求{an}的通项公式请用待定系数法尤其那个a1不知道怎么求!

Question

已知数列{an}的n项和为Sn,且对任意n属于N*有an+Sn=n,求{an}的通项公式
请用 待定系数法 尤其那个a1不知道怎么求!

Answer 1

an+Sn=n
那么a(n-1)+S(n-1)=n-1 (n≥2)
相减得an-a(n-1)+an=1
即2an-a(n-1)-1=0
用待定系数法,设an+k=1/2[a(n-1)+k]
整理得2an-a(n-1)+k=0
得k=-1
所以an-1=1/2[a(n-1)-1]
在式子an+Sn=n中,令n=1,那么
a1+S1=1,即a1+a1=1,得a1=1/2
所以a1-1=-1/2
那么{an-1}是以-1/2为首项,1/2为公比的等比数列
an-1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2^n
an=1-1/2^n