设x>0,Y>0,求证关于x,y的平方平均数加上调和平均算数的和大于x,y的算术平均数加上几何平均数的和.

Question

设x>0,Y>0,求证关于x,y的平方平均数加上调和平均算数的和大于x,y的算术平均数加上几何平均数的和.

Answer 1

记u=(x+y)/2, v=(xy)^{1/2}, 那么[(x^2+y^2)/2]^{1/2} = (2u^2-v^2)^{1/2}, 2xy/(x+y) = v^2/u,且u>=v要证明的是(2u^2-v^2)^{1/2}+v^2/u >= u+v这等价于 u(2u^2-v^2)^{1/2} >= u^2+uv-v^2注意到右端是正的,可以等价...