函数f(x)＝lnx−a(x−1)x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1lnx−1x−1＜12对于x∈（1，2）恒成

Question

函数f(x)＝lnx−(a(x−1))/(x)(x＞0，a∈R)．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式(1)/(lnx)−(1)/(x−1)＜(1)/(2)对于x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

（1）函数的定义域是（0，+∞），导数f′（x）=(1)/(x)-(a)/(x2)，
 若a≤0，导数f′（x）在（0，+∞）上大于0，函数的单调增区间是（0，+∞）；
若a＞0，在（a，+∞）上，导数大于0，函数的单调增区间是（a，+∞），
在（a，+∞）上，导数小于0，单调减区间是（0，a）
（2）由第一问知道，当a＞0时候，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
所以要使得函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0，即a=1
（3）要证(1)/(lnx)−(1)/(x−1)＜(1)/(2)，即证(1)/(lnx)＜(1)/(x−1)+(1)/(2)，即证lnx＞(2x−2)/(x+1)
设g(x)＝lnx−(2x−2)/(x+1)，∴g′(x)＝(1)/(x)−(4)/((x+1)2)＞0，x∈(1，2)恒成立
∴g（x）_min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即(1)/(lnx)−(1)/(x−1)＜(1)/(2)