如果存在正实数a,使得f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶函数,我们称函数f(x)为亲和函数,则对于亲和函数f(x),下列说法正确的个数是（1）f(x-a)=-f(a-x);(2)f(a-x)=f(x+a);(3)f(x)的图像关于点（a,0)对称；（4）f(

Question

如果存在正实数a,使得f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶函数,我们称函数f(x)为亲和函数,则对于亲和函数f(x),下列说法正确的个数是
（1）f(x-a)=-f(a-x); (2)f(a-x)=f(x+a); (3)f(x)的图像关于点（a,0)对称； （4）f(x)是周期函数,且8a是它的一个周期.
答案是2个,我想知道为什么,哪一个是对的,哪一个是错的.

Answer 1

用特殊值法可以说明(1)(3)是错误的
取f(x)=sin(x+π/4),a= π/4,f(x)为一个满足条件的亲和函数,f(x-a)=sinx,-f(a-x)=-cosx,所以(1)是错误的,而f(x)=sin(x+π/4)的对称中心为(-π/4+kπ,0),故(3)也是错误的
下面证明(2)(4)
因为f(x+a)是偶函数,所以f(-x+a)=f(x+a),即f(a-x)=f(x+a),(2)得证
因为f(x-a)是奇函数,所以f(-x-a)=-f(x-a),在上式中取x为x-2a有f(-x+a)=-f(x-3a),结合f(-x+a)=f(x+a),有-f(x-3a)=f(x+a),取x为x+4a,有-f(x+a)=f(x+5a),所以f(x+5a)=f(x-3a),再取x为x+3a即得f(x+8a)=f(x),所以(4)得证