已知函数f（x）=ax2+12x+c(a≠0）．若函数f（x）满足下列条件：①f（-1）=0；②对一切实数x，不等式f（x）≤12x2+12恒成立．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≤t2-2at+1对∀x∈[-1，1]

Question

已知函数f（x）=ax²+(1)/(2)x+c(a≠0）．若函数f（x）满足下列条件：①f（-1）=0；②对一切实数x，不等式f（x）≤(1)/(2)x2+(1)/(2)恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≤t²-2at+1对∀x∈[-1，1]，∀a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）求证：(1)/(f(1))+(1)/(f(2))+…+(1)/(f(n))＞(2n)/(n+2)（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）又f（-1）=0，所以a-b+c=0，即a+c=(1)/(2)．…（2分）
又因为f（x）≤(1)/(2)x2+(1)/(2)对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式（a-(1)/(2)）x²+(1)/(2)x+c-(1)/(2)≤0，
即-cx²+(1)/(2)x+c-(1)/(2)≤0恒成立．
显然，当c=0时，不符合题意．
当c≠0时，应满足

−c＜0

△＝(1)/(4)+4c(c−(1)/(2))≤0

，即

c＞0

(4c−1)2≤0

可得a=c=(1)/(4)
所以f（x）=(1)/(4)x²+(1)/(2)x+(1)/(4)．             …（5分）
（Ⅱ）由于f（x）=(1)/(4)x²+