已知a>0b>0a+b=4求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值我知道要应用基本不等式,但是我列出来解不出来,最后有ab没办法,ab

Question

已知a>0 b>0 a+b=4求(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2的最小值
我知道要应用基本不等式,但是我列出来解不出来,最后有ab没办法,ab

Answer 1

(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]
显然,随着ab值的增大,值会减小；
即ab取最大值时,(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2有最小值；
2ab≤a^2+b^2=16-2ab,所以,ab≤4,此时a=b=2
将a,b带入原式,所以
(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
≥(2+1/2)^2+(2+1/2)^2=25/2
(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2的最小值是：25/2