如图，经过原点O的抛物线y=ax2-4ax交x轴于点A，顶点B在正比例函数y=2x的图象上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点P，使得点B关于直线OP对称的对称点B′刚好在x轴上，求点P的坐

Question

如图，经过原点O的抛物线y=ax²-4ax交x轴于点A，顶点B在正比例函数y=2x的图象上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点P，使得点B关于直线OP对称的对称点B′刚好在x轴上，求点P的坐标；
（3）若点M在直线OB上，点N在x轴上，求PM+MN+PN的最小值．

Answer 1

（1）∵y=ax²-4ax=a（x-2）²-4a，
∴抛物线y=ax²-4ax的对称轴为：直线x=2，
当x=2时，y=2x=4，
∴顶点B的坐标为：（2，4），
∴-4a=4，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x；

（2）在抛物线上取点P，使得点B关于直线OP对称的对称点B′刚好在x轴上，设BB′与OP交于点C，则C为BB′的中点．
∵B（2，4），
∴OB=√(22+42)=2√(5)，
∴OB′=OB=2√(5)，
∴点B′的坐标为：（2√(5)，0），
∴点C（(2+2√(5))/(2)，(4)/(2)），即C（1+√(5)，2），
则易求直线OC的解析式为：y=(√(5)−1)/(2)x．
由

y＝−x2+4x

y＝(√(5)−1)/(2)x

，解得

x＝(9−√(5))/(2)

y＝(−7+5√(5))/(2)

，

x＝0

y＝0

（不合题意舍去），
∴点P的坐标为（(9−√(5))/(2)，(−7+5√(5))/(2)）；

（3）作点P关于OB的对称点P′，关于x轴的对称点P″，连接P′P″，交OB于M，交x轴于N，连接PM，PN，
此时PM+MN+PN=P′M+MN+P″N=P′P″，值最小．
∵直线OB的解析式为y=2x，PP′⊥OB，
∴设直线PP′的解析式为y=-(1)/(2)x+b，
∵P的坐标为（(9−√(5))/(2)，(−7+5√(5))/(2)），
∴-(1)/(2)×(9−√(5))/(2)+b=(−7+5√(5))/(2)，
解得b=1+2√(5)，
∴直线PP′的解析式为y=-(1)/(2)x+1+2√(5)．
 由

y＝2x

y＝−(1)/(2)x+1+2√(5)

，解得

x＝(2+4√(5))/(5)

y＝(4+8√(5))/(5)

，
即PP′中点坐标为（(2+4√(5))/(5)，(4+8√(5))/(5)），
∴P′点坐标为（(21√(5)−37)/(10)，(51+7√(5))/(10)），
∵P关于x轴的对称点P″的坐标为（(9−√(5))/(2)，(7−5√(5))/(2)），
∴P′P″=√(((9−√(5))/(2)−(21√(5)−37)/(10))2+((7−5√(5))/(2)−(51+7√(5))/(10))2)=(√(3870−810√(5)))/(5)．
即PM+MN+PN的最小值为(√(3870−810√(5)))/(5)．