若以A(根号3,0)为顶点的抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+m有两个公共点B(0,-1),C(3根号3,-4）（1）求直线BC和抛物线所对应的函数解析式；（2）若过点B的另一直线l与抛物线的另一个交点为D且∠BAD=90

Question

若以A(根号3,0)为顶点的抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+m有两个公共点B(0,-1),C(3根号3,-4）
（1）求直线BC和抛物线所对应的函数解析式；
（2）若过点B的另一直线l与抛物线的另一个交点为D且∠BAD=90°,求直线l所对应的函数解析式；
（3）若等边三角形PQR三个顶点中有两点在直线BC上同时也有两点在抛物线上,设点△PQR三个顶点中纵坐标最大的点,求点P的坐标.
希望今天能解决!

Answer 1

(1)
A(√3,0)为顶点,y = a(x - √3)²
过点B(0,-1):-1 = 3a,a = -1/3
y = -(x - √3)²/3
直线过点B:m = -1
直线过点C(3√3,-4):-4 = 3√3k - 1,k = -1/√3
y = -x/√3 - 1
(2)
AB斜率为k = (-1 - 0)/(0 - √3) = 1/√3
AD斜率为 -1/k = -√3
AD解析式:y - 0 = -√3(x - √3),y = 3 -√3x
(3)
要使三个顶点中有两点在直线BC上同时也有两点在抛物线上,则B,C中有一点为一个顶点.
如C为此顶点,P纵坐标不可能最大(三角形PQR在BC左下方),所以B肯定是一个顶点.
tan∠ABO = OA/OB = √3,∠ABO = 60°
AD斜率为-1/√3,倾斜角为150°,易知∠ABC = (90° - 60°) + (180° - 150°) = 60°
此时纵坐标最大的顶点与A重合,P(√3,0)