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(2013•曲靖)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=-x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物
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(2013•曲靖)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=-x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.
(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.
(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)在直线解析式y=x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=-4,
∴A(-4,0),B(0,4).
∵点A(-4,0),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,
∴
,
解得:b=-3,c=4,
∴抛物线的解析式为:y=-x2-3x+4.
(2)设点C坐标为(m,0)(m<0),则OC=-m,AC=4+m.
∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°,
∴△ACD为等腰直角三角形,∴CD=AC=4+m,
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m,
∴点E坐标为(m,8+m).
∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上,
∴8+m=-m2-3m+4,解得m1=m2=-2.
∴C(-2,0),AC=OC=2,CE=6,
S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB-S△BCO=
×2×6+
(6+4)×2-
×2×4=12.
(3)设点C坐标为(m,0)(m<0),则OC=-m,CD=AC=4+m,BD=
OC=-
m,则D(m,4+m).
∵△ACD为等腰直角三角形,△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形.
i)若∠BED=90°,则BE=DE,
∵BE=OC=-m,
∴DE=BE=-m,
∴CE=4+m-m=4,
∴E(m,4).
∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上,
∴4=-m2-3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=-3,
∴D(-3,1);
ii)若∠EBD=90°,则BE=BD=-
m,
在等腰直角三角形EBD中,DE=
BD=-2m,
∴CE=4+m-2m=4-m,
∴E(m,4-m).
∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上,
∴4-m=-m2-3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=-2,
∴D(-2,2).
综上所述,存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(-3,1)或(-2,2).
∴A(-4,0),B(0,4).
∵点A(-4,0),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,
∴
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解得:b=-3,c=4,
∴抛物线的解析式为:y=-x2-3x+4.
(2)设点C坐标为(m,0)(m<0),则OC=-m,AC=4+m.
∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°,
∴△ACD为等腰直角三角形,∴CD=AC=4+m,
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m,
∴点E坐标为(m,8+m).
∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上,
∴8+m=-m2-3m+4,解得m1=m2=-2.
∴C(-2,0),AC=OC=2,CE=6,
S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB-S△BCO=
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(3)设点C坐标为(m,0)(m<0),则OC=-m,CD=AC=4+m,BD=
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∵△ACD为等腰直角三角形,△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形.
i)若∠BED=90°,则BE=DE,
∵BE=OC=-m,
∴DE=BE=-m,
∴CE=4+m-m=4,
∴E(m,4).
∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上,
∴4=-m2-3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=-3,
∴D(-3,1);
ii)若∠EBD=90°,则BE=BD=-
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在等腰直角三角形EBD中,DE=
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∴CE=4+m-2m=4-m,
∴E(m,4-m).
∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上,
∴4-m=-m2-3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=-2,
∴D(-2,2).
综上所述,存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(-3,1)或(-2,2).
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