（2014•海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛

Question

（2014•海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

Answer 1

（1）∵对称轴为直线x=2，
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）²+k．
将A（-1，0），C（0，5）代入得：

9a+k＝0

4a+k＝5

，解得

a＝−1

k＝9

，
∴y=-（x-2）²+9=-x²+4x+5．

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
设P（x，-x²+4x+5），
如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=-x²+4x+5，
∴MN=ON-OM=-x²+4x+4．

S_{四边形MEFP}=S_梯形OFPN-S_△PMN-S_△OME
=(1)/(2)（PN+OF）•ON-(1)/(2)PN•MN-(1)/(2)OM•OE
=(1)/(2)（x+2）（-x²+4x+5）-(1)/(2)x•（-x²+4x+4）-(1)/(2)×1×1
=-x²+(9)/(2)x+(9)/(2)
=-（x-(9)/(4)）²+(153)/(16)
∴当x=(9)/(4)时，四边形MEFP的面积有最大值为(153)/(16)，此时点P坐标为（(9)/(4)，

作业帮用户 2017-10-18 举报

问题解析

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；
（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M₁（1，1）；作点M₁关于x轴的对称点M₂，则M₂（1，-1）；连接PM₂，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM₂最小．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称-最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．

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