解析几何中的不等问题,巨难设p(x,y),Q(X',y')是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的两点,则下列四个结论①a^2+b^2≥(x+y)^2②1/x^2+1/y^2≥(1/a+1/b)^2③a^2/x^2+b^2/y^2≥4④xx'/a^2+yy'/b^2≤1正确的是哪几个?怎么证明?

Question

解析几何中的不等问题,巨难
设p(x,y),Q(X',y')是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的两点,则下列四个结论①a^2+b^2≥(x+y)^2 ②1/x^2+1/y^2≥(1/a+1/b)^2 ③a^2/x^2+b^2/y^2≥4 ④xx'/a^2+yy'/b^2≤1 正确的是哪几个?怎么证明?

Answer 1

设x=acosθ,y=bsinθ
1、
(x+y)² =(acosθ+bsinθ)²=a²+b²-(asinθ+bcosθ)²≤a²+b²
结论①a²+b²≥(x+y)²成立.
2、
(1/a+1/b)²=(cosθ/x+sinθ/y)²=1/x²+1/y²-(sinθ/x+cosθ/y)²≤1/x²+1/y²
结论 ②1/x²+1/y²≥(1/a+1/b)²成立.
3、
a²/x²+b²/y²=1/cos²θ+1/sin²θ=1/(cosθsinθ)²=4/sin2θ≥4
结论 ③a²/x²+b²/y²≥4成立.
4、
又设x'=acosθ',y'=bsinθ'
xx'/a²+yy'/b²=cosθcosθ'+sinθsinθ'=cos(θ'-θ)≤1
结论④xx'/a²+yy'/b²≤1 成立.