AAA测试样题数学第五题设q 是三次多项式 f (x) = x3 - 3x + 10 的一个根,且a=（q^2+q-2）/2.若 h(x ) 是一个有理系数的二次多项式,满足条件h (a ) = q .则 h (0) =A.-2 B.2 C.-0.5 D.0.5请问q为什么是无理数呢？

Question

AAA测试样题数学第五题
设q 是三次多项式 f (x) = x3 - 3x + 10 的一个根,且a=（q^2+q-2）/2.若 h(x ) 是一个有理系数的二次多项式,满足条件h (a ) = q .则 h (0) =
A.-2 B.2 C.-0.5 D.0.5
请问q为什么是无理数呢？如何证明？

Answer 1

q³ - 3q + 10 = 0
∴ q³ = 3q - 10 ,q^4= 3q² - 10q
设 h(x) = bx² + cx + d ( b,c,d为有理数,b≠0 )
h(a) = b(q^4+q²+4+2q³-4q²-4q)/4 + c(q²+q-2)/2 + d = q
带入化简得 cq² / 2 + ( c/2 - 2b - 1)q + (d-c-4b) = 0
∵q是无理数,b,c,d是有理数
∴c = 0,c/2 - 2b - 1 = 0,d-c-4b = 0
得d = -2
∴h(0) = d = -2