这样子求不定积分对不?跟答案不一样啊∫sinx/(1+sinx)dx=∫sinx（1-sinx）/（cosx）^2dx=∫sinx/(cosx)^2dx-∫(1-(cosx)^2)/(cosx)^2dx=∫(tanx)(secx)dx+∫(1-(secx)^2dx=secx+x+tanx+C(常数)与课本做法不同,答案

Question

这样子求不定积分对不?跟答案不一样啊 ∫sinx/(1+sinx)dx=∫sinx（1-sinx）/（cosx）^2 dx
=∫sinx/(cosx)^2 dx-∫(1-(cosx)^2)/(cosx)^2 dx =∫(tanx)(secx)dx+∫(1-(secx)^2 dx =secx +x +tanx +C(常数) 与课本做法不同,答案亦不同,这样做错了吗?

Answer 1

没错,原函数本来就只是一个函数集合,过程没错的话,任意一个也是答案
它们之间只相差一个常数C
可能你课本上用的是万能公式法?
u = tan(x/2)、dx = 2du/(1 + u²)、sinx = 2u/(1 + u²)
∫ sinx/(1 + sinx) dx
= ∫ 2u/(1 + u²) • 1/[1 + 2u/(1 + u²)] • 2/(1 + u²) du
= ∫ 2u/(1 + u²) • (1 + u²)/(u² + 2u + 1) • 2/(1 + u²) du
= ∫ 4u/[(u + 1)²(1 + u²)] du
= ∫ 2/(1 + u²) du - ∫ 2/(u + 1)² du
= 2arctan(u) + 2/(1 + u) + C
= x + 2/[1 + tan(x/2)] + C?
这答案也正确.
secx + tanx = 2/[1 + tan(x/2)] + 常数
这个你可以运用三角函数的技巧去转换.