请问e^[-(x^2)/2]在（-无穷,+无穷）的反常积分怎么做?还有一题：设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=a+be^[-(x^2)/2],x>=0=0,x

Question

请问e^[-(x^2)/2]在（-无穷,+无穷）的反常积分怎么做?
还有一题：设连续型随机变量X的分布函数为
F(x)=a+be^[-(x^2)/2],x>=0
=0,x

Answer 1

1、给你一个不是很严密的做法,严格做法在同济大学高等数学教材中有（下册二重积分极坐标部分）
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方： 下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π,因此u=√π
本题不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题.
2、分布函数满足lim(x-->+∞)F(x)=1,则a=1
你看一下书,你们的书上分布函数是否要求左连续?（不同的教材定义不同的）如果要求左连续,那就简单了,lim(x-->0-)F(x)=0
又F(0)=a+b,得b=-1
P{X大于(ln4)^(1/2)小于(ln16)^(1/2)}
=F((ln16)^(1/2))-F((ln4)^(1/2))
=1/2-1/4
=1/4