设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1)使得f''(ξ)=f(ξ)

Question

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1)使得f''(ξ )=f(ξ )

Answer 1

∵f(x)在[0,1]上具有二阶导数
∴f'(x)-∫[0,x]f(x)dx在[0,1]上连续,f'(x)-∫[0,x]f(x)dx在（0,1）内可导
f'(0)-∫[0,0]f(x)dx=f'(1)-∫[0,1]f(x)dx
∴根据拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(0,1)使得
f''(ξ )-f(ξ )=0 即f''(ξ )=f(ξ )