设f(x)在[0,π/2]上一阶连续可导,在(0,π/2)内二阶可导,且f(0)=0,f(1)=3,f(π/2)=1,试证存在一点ζ∈（0,π/2)使f'（ζ）+tanζ*f'‘（ζ）=0麻烦写下详细过程（只有思路就不要回复啦，需要详细过程，谢

Question

设f(x)在[0,π/2]上一阶连续可导,在(0,π/2)内二阶可导,且f(0)=0,f(1)=3,f(π/2)=1,试证存在一点ζ∈（0,π/2)使f'（ζ）+tanζ*f '‘（ζ）=0

麻烦写下详细过程（只有思路就不要回复啦，需要详细过程，谢谢！）

Answer 1

首先由f(0)=0,f(1)=3
可以得到在(0,1)区间存在x1使得f'(x1)>0
同理在（1，π/2）区间存在x2使得f'(x2)<0
考虑函数g(x)=sinx f'(x)
0g(0)=0
g(x1)>0
g(x2)<0
则g(x)在(0,x2)区间上存在极值即存在ζ使得
g'(ζ)=cosζ*f'(ζ)+sinζ*f"(ζ)=0
除以cosζ就得到所要的结果。