一个高数问题设f(x)在[1,2]上二阶可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)^2*f(x),求证：存在ξ属于(1,2),使F(ξ)的二阶导为0.

Question

一个高数问题
设f(x)在[1,2]上二阶可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)^2*f(x),求证：存在ξ属于(1,2),使F(ξ)的二阶导为0.

Answer 1

先说F是二阶可导的,这个不难,因为(x-1)^2 与 f(x)都是二阶可导的,
接下来看题目既然说“存在ξ属于(1,2),使F(ξ)的二阶”这个时候就应该想到中值定理了,这里没有办法用别的就只能用Rolle中值定理了,接下来就是具体做法了：
首先看F的导数是,F'=2(x-1)f(x)+(x-1)^2f(x)’,那么就有F'（1）=0
其次,看F(1)=F(2)=0,那么必至少存在存在ξ’.使得F'(ξ’)=0(这里必须注意ξ’是在（1,2）之间的,这里告诉你个常识,微分中值定理的ξ’都是出现在开区间的情况下,而积分中值定理出现的都是在闭区间的情况下）
那么前面有个F'（1）=0就在用一次Rolle中值定理得到在（1,ξ’）之间存在ξ使得F”（ξ）=0那么结论就得到证明了