巳知椭圆C：x2a2+y2b2=1与双曲线x22-y2=1有公共焦点，且离心率为32．A、B分别是椭圆C的左顶点和右顶点．点S是椭圆C上位于x轴上方的动点．直线AS，BS分别与直线l：x=103分别交于M，N两点．（1）

Question

巳知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1与双曲线(x2)/(2)-y²=1有公共焦点，且离心率为(√(3))/(2)．A、B分别是椭圆C的左顶点和右顶点．点S是椭圆C上位于x轴上方的动点．直线AS，BS分别与直线l：x=(10)/(3)分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试判断以SM为直径的圆是否过点B，并说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1与双曲线(x2)/(2)-y²=1有公共焦点（-√(3)，0），（√(3)，0），
且离心率为(√(3))/(2)，
∴

c＝√(3)

(c)/(a)＝(√(3))/(2)

a2＝b2+c2

，解得a=2，c=√(3)，b=1，
∴椭圆方程为(x2)/(4)+y2＝1．
（2）由题意知直线AS的斜率k存在，且k＞0，设直线AS：y=k（x+2），
∵直线AS，BS分别与直线l：x=(10)/(3)分别交于M，N两点，∴M（(10)/(3)，(16k)/(3)），
由

y＝k(x+2)

(x2)/(4)+y2＝1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
设S（x₁，y₁），则（-2）x₁=(16k2−4)/(1+4k2)，∴x1＝(2−8k2)/(1+4k2)，从而y1＝(4k)/(1+4k2)，
∴S（(2−8k2)/(1+4k2)，(4k)/(1+4k2)），又B（2，0），
从而

BS

=（-(16k2)/(1+4k2)，(4k)/(1+4k2)），

BM

=（(4)/(3)，(16k)/(3)），

BS

•

BM

=（-(16k2)/(1+4k2)，(4k)/(1+4k2)）•（(4)/(3)，(16k)/(3)）=0，
∴

BS

⊥

BM

，
∴以SM为直径的圆过点B．