（2014•广州模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半

Question

（2014•广州模拟）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(1)/(2)，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF₁为半径作圆M，当圆M与直线l：x=(a2)/(c)有公共点时，求△MF₁F₂面积的最大值．

Answer 1

（1）因为2c=2，且(c)/(a)＝(1)/(2)，所以c=1，a=2．
所以b²=3．
所以椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（2）设点M的坐标为（x₀，y₀），
则(x20)/(4)+(y20)/(3)＝1．
因为F₁（-1，0），(a2)/(c)＝4，
所以直线l的方程为x=4．
由于圆M与l有公共点，
所以M到l的距离4-x₀小于或等于圆的半径R．
因为R²=MF₁²=（x₀+1）²+y₀²，
所以（4-x₀）²≤（x₀+1）²+y₀²，
即y₀²+10x₀-15≥0．
又因为

y

2 0

＝3(1−(x20)/(4))，
所以3−(3x20)/(4)+10x0−15≥0．
解得(4)/(3)≤x0≤12．又(x20)/(4)+(y20)/(3)＝1，∴(4)/(3)≤x0＜2
当x0＝(4)/(3)时，|y0|＝(√(15))/(3)，
所以(S△MF1F2)max＝

作业帮用户 2017-09-23 举报

问题解析

（1）根据焦距为2求出c的值，再由离心率为

(1)/(2)可求出a的值，进而得到b的值写出椭圆方程．
（2）先设M的坐标为（x₀，y₀）根据题意满足(x20)/(4)+(y20)/(3)＝1，再表示出直线l的方程，因为圆M与l有公共点可得到M到l的距离4-x₀小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y₀²+10x₀-15≥0，再由则(x20)/(4)+(y20)/(3)＝1消去y₀，求出x₀的取值范围，再表示出△MF₁F₂面积即可求出最大值．

名师点评

本题考点：

椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．

考点点评：

本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．

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