已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上

Question

已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线 上的点按坐标变换 得到曲线 ．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）若点 在曲线 上，点 ，当点 在曲线 上运动时，求 中点 的轨迹方程．

Answer 1

已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线 上的点按坐标变换 得到曲线 ．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）若点 在曲线 上，点 ，当点 在曲线 上运动时，求 中点 的轨迹方程．

（1） ；（2） .

试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C的坐标直接代入 中，得到曲线 的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P、A点坐标，利用中点坐标公式，得出 ，由于点A在曲线 上，所以将得到的 代入到曲线 中，得到 的关系，即为 中点 的轨迹方程.
试题解析：（1）将  代入  ，得 的参数方程为
∴曲线 的普通方程为 ．                                5分
（2）设 ， ，又 ，且 中点为
所以有：  
又点 在曲线 上，∴代入 的普通方程 得
∴动点 的轨迹方程为 ．                            10分