过正弦曲线y=sinx上点M（π/2,1）处作一抛物线y=ax^2+bx+c,使抛物线与正弦曲线在M点具有相同的曲率与凹向,并写出M点处两曲线的公共曲率圆方程.

Question

过正弦曲线y=sinx上点M（π/2,1）处作一抛物线y=ax^2+bx+c,使抛物线与正弦曲线在M点具有相同的曲率与凹向,并写出M点处两曲线的公共曲率圆方程.

Answer 1

首先,正弦曲线y=sinx在点M(π/2,1)处的曲率K
K=|y''|/[1+y'^2]^(3/2)
所以,y'=cosx=cos(π/2)=0
y''=-sinx=-sin(π/2)=-1
所以,K=|-1|/[1+0]^(3/2)=1
所以,曲率圆半径为1/K=1
曲率圆圆心在点M处法线上,而点M处的切线的斜率k=y'=0
所以,点M处的法线为过点M垂直于x轴的直线上,即在x=π/2上
又因为曲率圆半径为1,所以：圆心纵坐标=1-1=0
所以,曲率圆方程为：
[x-(π/2)]^2+y^2=1
又,抛物线与正弦曲线具有相同的曲率和凹向,所以,对于抛物线y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b在点M(π/2,1)处为零
所以：2a*(π/2)+b=πa+b=0…………………………………（1）
y''=2a
所以,抛物线在M点处的曲率K=|y''|/[1+y'^2]^(3/2)
=|2a|/[1+0]^(3/2)
=|2a|=1
又因为它们具有相同的凹向,所以：a=-1/2……………（2）
且,点M(π/2,1)在抛物线上,所以：
1=a*(π/2)^2+b*(π/2)+c…………………………………（3）
联立(1)(2)(3)得到：
a=-1/2
b=π/2
c=(8-π^2)/8
所以,所求抛物线方程为：
y=(-1/2)x^2+(π/2)x+[(8-π^2)/8]
公共曲率圆方程为：
[x-(π/2)]^2+y^2=1