证明：一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点,则它必定是一条直线1.证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点,则它必定是一条直线.2.证明：若一条正则曲线在个点的法平

Question

证明：一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点,则它必定是一条直线
1.证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点,则它必定是一条直线.
2.证明：若一条正则曲线在个点的法平面都经过一个固定点,则它必定落在一个球面上.

Answer 1

1.设正则曲线 r(t)=(x(t),y(t),z(t)) 各点切线都过一固定点a,则r(t)-a 与 r'(t) 平行
我们来证明 r(t)其实是过a的一条直线,即 r(t) = a + C(t) (r0 - a)
其中 r0 即 r(0).
我们来证明 (r(t)-a)始终互相平行,从而r(t)在一条直线上.
首先,由于r(t)-a与r'(t)平行,所以
r'(t) = C1(t) (r(t) - a)
即 x'(t) = C1(t)(x(t)-a1)
y'(t) = C1(t)(y(t)-a2)
z'(t) = C1(t)(z(t)-a3)
以x为例,x'(t)/(x(t)-a1) = C1(t),两边积分得
ln|x(t)-a1| - ln|x(0)-a1| =C2(t)
x(t) = a1 + C3(t)(x(0)-a1)
同样地解出y,z后得到
r(t) = a + C3(t)(r(0)-a).证毕.
2.设正则曲线 r(t) 每点的法平面都经过b
这说明 r(t)-b 垂直于 r'(t).
取内积得到
=
得到 (|r(t)|^2)' = 2