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如图△ABC中M为BC的中点,N为AM上一点,过N作直线PQ分别交线段AB、AC于P、Q.(1)当PQ∥BC时,求证:PN=NQ;(2)当PQ与BC不平行时,PBPA+QCQA=MNNA.填空并证明.
题目详情

(1)当PQ∥BC时,求证:PN=NQ;
(2)当PQ与BC不平行时,
PB |
PA |
QC |
QA |
MN |
NA |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵PQ∥BC,∴△APN∽△ABM,
∴
=
,
同理
=
,
∵BM=CM,∴PN=NQ
(2)
+
=2
,
如图,过B,C两点作AM的平行线交直线于D,F,
∵BD∥AM,CE∥AM
∴BD∥CE
∴△BDP∽△ANP,△CEQ∽△ANQ
∴
=
,
=
,
∵M为BC的中点,MN∥CE∥BD
∴NM为梯形BDEC的中位线,
∴BD+EC=2MN,
∴
+
=2
.
故答案为2.

∴
PN |
BM |
AN |
AM |
同理
QN |
CM |
AN |
AM |
∵BM=CM,∴PN=NQ
(2)
PB |
PA |
QC |
QA |
MN |
NA |
如图,过B,C两点作AM的平行线交直线于D,F,
∵BD∥AM,CE∥AM
∴BD∥CE
∴△BDP∽△ANP,△CEQ∽△ANQ
∴
PB |
PA |
BD |
NA |
QC |
QA |
EC |
NA |
∵M为BC的中点,MN∥CE∥BD
∴NM为梯形BDEC的中位线,
∴BD+EC=2MN,
∴
PB |
PA |
QC |
QA |
MN |
NA |
故答案为2.
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