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如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，sin∠DCB=45，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q．（1）如果BP⊥CD，求CP的长；（2）如果PA=PB，试判
题目详情
如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，sin∠DCB=
，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q．
（1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）如果PA=PB，试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系；
（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．
，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q．
（1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）如果PA=PB，试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系；
（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．
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（1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）如果PA=PB，试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系；
（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．
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（1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）如果PA=PB，试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系；
（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．
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▼优质解答
答案和解析
（1）作DH⊥BC于H，如图1，
∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，
∴DH=4，BH=3，
在Rt△DHC中，sin∠DCH=
=
，
∴DC=5，
∴CH=
=3，
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴
=
，即
=
，
∴PC=
；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
DH DH DHDC DC DC=
，
∴DC=5，
∴CH=
=3，
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴
=
，即
=
，
∴PC=
；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
4 4 45 5 5，
∴DC=5，
∴CH=
=3，
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴
=
，即
=
，
∴PC=
；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
DC2−DH2 DC2−DH2 DC2−DH22−DH22=3，
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴
=
，即
=
，
∴PC=
；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
DC DC DCBC BC BC=
，即
=
，
∴PC=
；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
CH CH CHPC PC PC，即
=
，
∴PC=
；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
5 5 56 6 6=
，
∴PC=
；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
3 3 3PC PC PC，
∴PC=
；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
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整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
18 18 185 5 5；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
1 1 12 2 2AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
1 1 12 2 2（AD+BC）=
（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
1 1 12 2 2（3+6）=
，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
9 9 92 2 2，
∴PC=
BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
1 1 12 2 2BC=
，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
5 5 52 2 2，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
PC PC PCCD CD CD=
，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
CF CF CFCH CH CH，即
=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
x x x5 5 5=
，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
CF CF CF3 3 3，解得CF=
，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
3x 3x 3x5 5 5，
∴CQ=2CF=
，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
6x 6x 6x5 5 5，
∴BQ=BC-CQ=6-
，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
6x 6x 6x5 5 5，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
AD AD ADBQ BQ BQ=
，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
DP DP DPQP QP QP，即
=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
3 3 36−
6−
6−
6x 6x 6x5 5 5=
，
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
5−x 5−x 5−xx x x，
整理得2x22-25x+50=0，解得x11=
，x2=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
5 5 52 2 2，x22=10（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
5 5 52 2 2是原分式方程的解．
∴PC=
；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
5 5 52 2 2；
当△ADP∽△PQB，
∴
=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
AD AD ADPQ PQ PQ=
，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
DP DP DPBQ BQ BQ，即
=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
3 3 3x x x=
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
5−x 5−x 5−x6−
6−
6−
6x 6x 6x5 5 5
整理得5x22-43x+90=0，解得x11=
，x2=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
18 18 185 5 5，x22=5（舍去），
经检验x=
是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
18 18 185 5 5是原分式方程的解．
∴PC=
，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
18 18 185 5 5，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
或
．
5 5 52 2 2或
．
18 18 185 5 5．
∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，
∴DH=4，BH=3，
在Rt△DHC中，sin∠DCH=
| DH |
| DC |
| 4 |
| 5 |
∴DC=5，
∴CH=
| DC2−DH2 |
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴
| DC |
| BC |
| CH |
| PC |
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| PC |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| DH |
| DC |
| 4 |
| 5 |
∴DC=5，
∴CH=
| DC2−DH2 |
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴
| DC |
| BC |
| CH |
| PC |
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| PC |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴DC=5，
∴CH=
| DC2−DH2 |
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴
| DC |
| BC |
| CH |
| PC |
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| PC |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| DC2−DH2 |
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴
| DC |
| BC |
| CH |
| PC |
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| PC |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| DC |
| BC |
| CH |
| PC |
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| PC |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| CH |
| PC |
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| PC |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| PC |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 3 |
| PC |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 9 |
| 2 |
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| PC |
| CD |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| CF |
| CH |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| x |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| CF |
| 3 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 3x |
| 5 |
∴CQ=2CF=
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 6x |
| 5 |
∴BQ=BC-CQ=6-
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 6x |
| 5 |
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| AD |
| BQ |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| DP |
| QP |
| 3 | ||
6−
|
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 3 | ||
6−
|
| 6x |
| 5 |
| 6x |
| 5 |
| 6x |
| 5 |
| 5−x |
| x |
整理得2x2-25x+50=0，解得x1=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 5−x |
| x |
整理得2x22-25x+50=0，解得x11=
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
经检验x=
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
∴PC=
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
当△ADP∽△PQB，
∴
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| AD |
| PQ |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| DP |
| BQ |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 3 |
| x |
| 5−x | ||
6−
|
整理得5x2-43x+90=0，解得x1=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 5−x | ||
6−
|
| 6x |
| 5 |
| 6x |
| 5 |
| 6x |
| 5 |
整理得5x22-43x+90=0，解得x11=
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
经检验x=
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为
| 5 |
| 2 |
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