半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）求证：△ABC∽△PQC；（2）当点P与点C关于AB对称时

Question

半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）求证：△ABC∽△PQC；          
（2）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长；
（4）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴△ABC∽△PQC；

（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，此时CP⊥直径AB于D，
∴CP=2CD
∵AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC・BC=AB・CD，
∴CD=4.8．
∴CP=2CD=9.6，
∵△ABC∽△PQC，
∴(BC)/(CQ)=(AC)/(PC)，
∴CQ=12.8；

（3）因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC
所以PC最大时，CQ取到最大值．
∴当PC过圆心O，即PC 取最大值 10时，CQ最大，最大为(40)/(3)．

（4）当点P运动到弧AB的中点时，如图所示，过点B作BE⊥PC于点E，
∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，
∴∠PCA=45°，
∴在Rt△CBE中，CE=BE=4√(2)，易证：△ABC∽△PBE，∴PE=3√(2)，
∴CP=7√(2)
∴CQ=7√(2)×(4)/(3)=(28√(2))/(3)．