（2013•盐城模拟）已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE•AC，BD=8，（1）判断△ABD的形状并说明理由；（2）求△ABD的面积．

Question

（2013•盐城模拟）已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB²=AE•AC，BD=8，
（1）判断△ABD的形状并说明理由；
（2）求△ABD的面积．

Answer 1

（1）△ABD的形状是等腰三角形，
理由是：∵AB²=AE•AC，
∴(AB)/(AE)=(AC)/(AB)，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴∠ACB=∠DBA，
∴

AD

=

AB

，
∴AD=AB，
即△ABD是等腰三角形；


（2）分为两种情况：
①当点O在△ABD内时，连接AO延长到F交BD于F，连接OB，
∵AD=AB，⊙O是△ABD的外接圆，
∴O在BD的垂直平分线上，
∴根据等腰三角形三线合一定理得出：AF⊥BD，
∵OF过O，BD=8，
∴BF=(1)/(2)BD=4，OA=OB=5，
在Rt△BFO中，OF=√(52−42)=3，
∴AF=OA+OF=5+3=8，
∴△ABD的面积是(1)/(2)×AF×BD=(1)/(2)×8×8=32；
②当点O在△ABD外时，
连接AO交BD于点G，连接OB，
即AO⊥BD，BG=(1)/(2)BD=4，OA=OB=5，
∵在Rt△BOG中，由勾股定理得：OG=3，
∴AG=OA-OG=5-3=2，
∴△ABD的面积是：(1)/(2)×BD×AG=(1)/(2)×2×8=8；
即△AND的面积是32或8．