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设向量a，b，c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A．{a+b，-a+b，a

题目详情
设向量
a
，
b
，
c
不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（　　）
A． {
a
+
b
，-
a
+
b
，
a
} 		B． {
a
+
b
，-
a
+
b
，
b
}
C． {
数学
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优质解答
A．B．∵
a
+
b
， -
a
+
b
，
a
，
b
是共面向量，因此A，B集合不可作为空间的一个基底；
C．假设存在非零实数x，y，z使得 x(
a
+
b
+
c
) + y(
a
+
b
)+z
c
=
0
，则
x+y=0
x+z=0
，
令x=1，则y=z=-1．
∴
c
=
a
+
b
+
c
-(
a
+
b
) ，
因此
a
+
b
+
c
，
a
+
b
，
c
不能作为空间的一个基底．
D．假设存在非零实数x，y，z使得x（
a
+
b
） +y(-
a
+
b
) +z
c
=
0
．
则
x-y=0
x+y=0
z=0
，解得x=y=z=0，与假设矛盾，
因此不存在非零实数x，y，z使得x（
a
+
b
） +y(-
a
+
b
) +z
c
=
0
．
故
a
+
b
， -
a
+
b
，
c
可以作为空间的一个基底．
故选：D．
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▼优质解答
答案和解析
A．B．∵
a
+
b
， -
a
+
b
，
a
，
b
是共面向量，因此A，B集合不可作为空间的一个基底；
C．假设存在非零实数x，y，z使得 x(
a
+
b
+
c
) + y(
a
+
b
)+z
c
=
0
，则
x+y=0
x+z=0
，
令x=1，则y=z=-1．
∴
c
=
a
+
b
+
c
-(
a
+
b
) ，
因此
a
+
b
+
c
，
a
+
b
，
c
不能作为空间的一个基底．
D．假设存在非零实数x，y，z使得x（
a
+
b
） +y(-
a
+
b
) +z
c
=
0
．
则
x-y=0
x+y=0
z=0
，解得x=y=z=0，与假设矛盾，
因此不存在非零实数x，y，z使得x（
a
+
b
） +y(-
a
+
b
) +z
c
=
0
．
故
a
+
b
， -
a
+
b
，
c
可以作为空间的一个基底．
故选：D．
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