如图，已知△OAB的顶点A（3，0），B（0，1），O是坐标原点．将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC．（1）写出C，D两点的坐标；（2）求过C，D，A三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点

Question

如图，已知△OAB的顶点A（3，0），B（0，1），O是坐标原点．将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC．
（1）写出C，D两点的坐标；
（2）求过C，D，A三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点M的坐标；
（3）在对称轴上找一点P，使得PB+PD最小，求出最小值和P点坐标．

Answer 1

（1）如图，∵A（3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1．
又∵将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC，
∴OD=OA=3，OC=OB=1，
∴C（-1，0），D（0，3）；

（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
∵A，C，D在抛物线上
∴

 c＝3  

a−b+c＝0

9a+3b+c＝0

解得a=-1，b=2，c=3
即y=-x²+2x+3
又y=-（x-1）²+4
∴M（1，4）；

（3）如图，点D关于抛物线对称轴对称的点是D′，连接BD′交抛物线对称轴于点P．
∵由（1）知D（0，3）、B（0，1），由（2）知，M（1，4）．
∴对称轴是x=1，D′（2，4），
则点P的坐标为：（(2+0)/(2)，(4+1)/(2)），即P（1，(5)/(2)）．
根据对称性得到：PB+PD=PB+PD′=BD′=√((2−0)2+(4−1)2)=√(13)．
综上所述，PB+PD最小值是√(13)，此时点P的坐标是（1，(5)/(2)）．