若函数f(x),x属于R,则对于任意的x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)我是这么证的,令x1=x2=0.则2f(0)=2f(0)*f(0),知f(0)=0或者1,网上都说若f(0)=0,则x2=0,知f(x)=f(-x)=0若f(0)=1,则令x1=0.知f(x)=f(-x),所以是偶函数

Question

若函数f(x),x属于R ,则对于任意的x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)
我是这么证的,令x1=x2=0.则2f(0)=2f(0)*f(0),知f(0)=0 或者1,网上都说若f(0)=0 ,则x2=0,知f(x)=f(-x)=0 若f(0)=1,则令x1=0.知f(x)=f(-x),所以是偶函数.
但如果f(0)=0 .的时候令x1=0.则知f(x2)+f(-x2)=2f(0)*f(2)=0.不是就有f(x2)=-f(-x2),即
f(x)=f(-x)为奇函数么、、、咋回事啊,我想错了?
其中有句话改为 网上都说若f(0)=0,则令x2=0,知 f(x)=f(-x)=0

Answer 1

你这题还像还得有条件吧.

f(x)是不恒为0的函数,求证f(x)是偶函数.

若f(0)=0,则取x1=x、x2=0

f(x1+x2)+f(x1-x2)

=f(x)+f(x)

=2f(x)

=0

所以,f(x)恒为0,与题设矛盾,即f(0)不等于0.

所以,f(0)=1

取x1=0、x2=x

f(x1+x2)+f(x1-x2)=f(x)+f(-x)=2f(0)f(x2)=2f(-x)

所以,f(x)=f(-x),偶函数.









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