设函数f（x）=xe2x，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间及最大值；（Ⅱ）设g（x）=xe2x+m，若g（x）在点（-12，g（-12）处的切线过点（1，3e），求m的值．

Question

设函数f（x）=(x)/(e2x)，（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间及最大值；
（Ⅱ）设g（x）=(x)/(e2x)+m，若g（x）在点（-(1)/(2)，g（-(1)/(2)）处的切线过点（1，3e），求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=（1-2x）e^-2x，…．…．…（2分）
由f'（x）=0解得x=(1)/(2)，
当x<(1)/(2)时，f'（x）>0，f（x）单调递增；…．…．…（3分）
当x>(1)/(2)时，f'（x）<0，f（x）单调递减．…．…．…（4分）
函数f（x）的单调递增区间是(-∞，(1)/(2))，单调递减区间是((1)/(2)，+∞)，
∴函数的最大值为f((1)/(2))=(1)/(2)e-1．…．…．…（6分）
（Ⅱ）g'（x）=（1-2x）e^-2x，
所以g′(-(1)/(2))=2e为切线的斜率，…．…．…（8分）
又根据直线上两点坐标求斜率得：
(g(-(1)/(2))-3e)/(-(1)/(2)-1)=(-(1)/(2)e+m-3e)/(-(3)/(2))=(7e-2m)/(3)…．…．…（10分）
所以2e=(7e-2m)/(3)，所以m=(e)/(2)…．…．…（12分）