已知函数f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx．（1）当a=0时，①若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），求x0及b的值；②f（x）=g（x）在[1，m]上有解，求b的范围；（2）当b=-1时，若f（x）≥g（

Question

已知函数f（x）=ax²+bx，g（x）=lnx．
（1）当a=0时，①若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），求x₀及b的值；②f（x）=g（x）在[1，m]上有解，求b的范围；
（2）当b=-1时，若f（x）≥g（x）在[(1)/(e)，n]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵a=0∴f（x）=bx，
①f′(x)＝b， g′(x)＝(1)/(x)∴

b＝(1)/(x0)

bx0＝lnx0

 ， ∴x0＝e，∴b＝(1)/(e)；
②∵f(x)＝g(x)∴bx＝lnx(x＞0)∴b＝(lnx)/(x)在[1，m]上有解，即y=b与h(x)＝(lnx)/(x)在[1，m]上有交点，
∵h′(x)＝(1−lnx)/(x2)，
∴当m≤e时h（x）在[1，m]上递增，则h(x)∈[0，(lnm)/(m)]，
当m＞e时h（x）在[1，e]上递增，在[e，m]上递减且h（x）＞0，则h(x)∈[0，(1)/(e)]，
∴m≤e时，b∈[0，(lnm)/(m)]；m＞e时，b∈[0，(1)/(e)]；
（2）∵b=-1∴f（x）=ax²-x∴f（x）≥g（x）即ax²-x≥lnx，
即a≥(x+lnx)/(x2)在[(1)/(e)，n]上恒成立，
令r(x)＝(x+lnx)/(x2)，∴r′(x)＝(1−x−2lnx)/(x3)，
令s（x）=1-x-2lnx，则s（x）为单调减函数，且s（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，r′（x）＞0，r（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单调递减，
若n≤1，则r（x）在[(1)/(e)，n]上单调递增，
∴rmax(x)＝r(n)＝(n+lnn)/(n2)，∴a≥

作业帮用户 2017-09-19