下列命题中正确的是（）①f（x）、g（x）在x0点的某邻域内都无界，则f（x）g（x）在x0点的该邻域内一定无界；②limx→x0f（x）=∞，limx→x0g（x）=∞，则limx→x0[f(x)g(x)]＝∞；③f（x）及g

Question

下列命题中正确的是（　　）
①f（x）、g（x）在x₀点的某邻域内都无界，则f（x）g（x）在x₀点的该邻域内一定无界；
②

lim

x→x0

f（x）=∞，

lim

x→x0

g（x）=∞，则

lim

x→x0

[f(x)g(x)]＝∞；
③f（x）及g（x）在x₀点的某邻域内均有界，则f（x）g（x）在x₀的该邻域内一定有界；
④f（x）g（x）是当x→x₀的无穷小量，则x→x₀时f（x）和g（x）中至少有一个是无穷小量．

A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

Answer 1

①错误，反例：f（x）=

(1)/(x)， x＞0

0， x≤0

与g（x）=

0，  x≥0

(1)/(x)， x＜0

在x=0的邻域[-1，1]内无界，但f（x）g（x）≡1为有界函数．
②正确：对于任意M＞0，因为

lim

x→x0

f(x)＝∞，

lim

x→x0

g(x)＝∞，故存在δ＞0，当|x-x₀|＜δ时，|f(x)|＞√(M)，|g(x)|＞√(M)，从而，|f（x）g（x）|=|f（x）||g（x）|＞√(M)•√(M)=M，从而，

lim

x→x0

f(x)g(x)＝∞．
③正确：假设f（x）与g（x）的某邻域I内有界，则∃M＞0，∀x∈I，|f（x）|≤M，|g（x）|≤M，从而|f（x）g（x）|≤M²，故f（x）g（x）在I内有界．
④错误，反例：取f（x）=

x， x≥0

1， x＜0

，g（x）=

1， x≥0

x， x＜0

，则f（x）g（x）=x，当x→0时，f（x）g（x）为无穷小量，但f（x）与g（x）均不是无穷小量．
综上，选项②③正确．
故选：B．