已知a>0,函数f(x)=e^x/a+a/e^x在R上满足f(-x)=f(x),其中e为自然对数的底数.(1)求实数a的值（2）证明：函数f(x)在(0,正无穷大）上是增函数

Question

已知a>0,函数f(x)=e^x/a+a/e^x在R上满足f(-x)=f(x),
其中e 为自然对数的底数.(1)求实数a的值（2）证明：函数f(x)在(0,正无穷大）上是增函数

Answer 1

(1)
因为函数的定义域是R
而f(x)=f(-x)
所以f(x)是偶函数
由偶函数可得
f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(ae^x)+a*e^x=f(x)=e^x/a+a/e^x
比较 1/e^x和e^x的系数可得
a=1或a=-1,由a>0的条件
得a=1
(2)
f'(x)=-e^(-x)+e^x
由x属于（0,+∞）,此时,e^x>=e^(-x)
所以f'(x)>0
所以f(x)在（0,+∞）上为增函数.