一道证明题,已知A为n阶矩阵,r(A)=r(A^2),证明：（1）AX=0与AAX同解（2）r(A)=r(A^3)第一问我能证到AX=0的解必为AAX=0的解,A满秩时AAX=0的解必为AX=0的解,A不是满秩就不会了.第二问完全不会.

Question

一道证明题,已知A为n阶矩阵,r(A)=r(A^2),证明：（1）AX=0与AAX同解 （2）r(A)=r(A^3)
第一问我能证到AX=0的解必为AAX=0的解,A满秩时AAX=0的解必为AX=0的解,A不是满秩就不会了.第二问完全不会.

Answer 1

(1)显然 AX=0 的解是 A^2X=0 的解
因为 r(A)=r(A^2)
所以AX=0的基础解系是A^2X=0的基础解系
故方程组同解.
(2)显然 A^2X=0 的解是 A^3X=0 的解
设X0是A^3X=0的解,则 A^2(AX0)=0
所以AX0是 A^2X=0 的解.
由(1) AX0是AX=0的解
所以 A(AX0)=A^2X0=0
即 X0 也是A^2X=0 的解
所以 A^2X=0 与 A^3X=0 同解
所以 r(A^2)=r(A^3)
所以 r(A)=r(A^3)