已知函数f（x）=ex-mx（e为自然对数的底数），其图象在点（0，f（0））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）设不等式f（x）≥ax+1的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值

Question

已知函数f（x）=e^x-mx（e为自然对数的底数），其图象在点（0，f（0））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设不等式f（x）≥ax+1的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，f′（x）=e^x-m，
则f′（0）=e⁰-m=0，故m=1；
故f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，
故f（x）在（-∞，0）上是减函数，在[0，+∞）上是增函数，
故f（x）的最小值为f（0）=1；
（Ⅱ）∵f（x）=e^x-x，
∴不等式f（x）≥ax+1可化为e^x-x-ax-1≥0，
又∵不等式f（x）≥ax+1的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，
∴e^x-x-ax-1≥0在[0，2]上恒成立，
令F（x）=e^x-x-ax-1，
则F′（x）=e^x-（1+a），
若a≤0，则F′（x）=e^x-（1+a）≥0，x∈[0，2]；
故F（x）=e^x-x-ax-1在[0，2]上是增函数；
故F（0）=1-0-1=0≥0，显然成立，
当a＞0时，F′（x）=e^x-（1+a）＜0，x∈[0，ln（1+a）]；
故在（0，ln（1+a）]上，
F（x）＜F（0）=0；
故e^x-x-ax-1≥0在[0，2]上不能恒成立；
综上所述，a≤0．