已知函数．（1）证明：f（x）必有两个极值点；（2）设x1，x2是f（x）两个极值点且|x1|+|x2|=2，求a的取值范围并求b的最大值；（3）当a=3，b=4时，数列{an}满足：a1=e-1（e为自然对数的底数）

Question

已知函数．
（1）证明：f（x）必有两个极值点；
（2）设x₁，x₂是f（x）两个极值点且|x₁|+|x₂|=2，求a的取值范围并求b的最大值；
（3）当a=3，b=4时，数列{a_n}满足：a₁=e-1（e为自然对数的底数）且，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为函数．对其进行求导，只要证明f′（x）=0，有两个根即可；（2）由（1）利用韦达定理得到两个根的关系，根据|x1|+|x2|=|x1-x2|，代入得到b与a的关系，可以令b2=g（a）利用导数研究g（a）的最值问题；（3）a=3，b=4时，代入f（x），由已知可得an+1an=+2，且an+1≠0，可以推出∴{ln（an+1）}是首项为1，公比为的等比数列，求出an的通项，从而求解；（1）因为函数．∴f′（x）=ax2+bx-a2，∵，∴△＞0，即f′（x）=0必有两个根，设为x1，x2，且x1＜x2，故有，若f′（x）＞0，可得x＜x1或x＞x2，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，可得x1＜x＜x2，f（x）为减函数；所以f（x）必有两个极值点；（2）由（1）知，∴|x1|+|x2|=|x1-x2|===2，∴b2=4a2-4a3，∴⇒0＜a≤1，设b2=g（a）=4a2-4a3，a∈（0，1]，g′（a）=8a-12a2=4a（2-3a），由g′（a）＞0，0＜a＜，由g′（a）＜0，可得＜a≤1，∴g（a）max=g（）=，∴b2≤即|b|≤即bmin=；（3）由已知得：an+1an=+2，且an+1≠0，∴an=+2an+1⇒an+1=（an+1+1）2，又an+1＞0，所以ln（an+1+1）=ln（an+1），ln（a1+1）=1，∴{ln（an+1）}是首项为1，公比为的等比数列，故ln（an+1）=（）n-1，∴an+1=，（a1+1）（a2+1）…（an+1）==＜e2；点评：利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数为0推出函数有极值；利用导数判断函数的单调区间，导函数大于0求出单调递增区间，导数小于0是递减区间，第三问难度比较大，需要用到前一题的结论进行证明，是一道综合性比较强的题；