设a>0且a≠1函数f（x）=ax+x2-xlna-a（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．

Question

设a>0且a≠1函数f（x）=a^x+x²-xlna-a
（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）
（2）求函数f（x）的最小值；
（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．

Answer 1

（1）当a=e时，f（x）=e^x+x²-x-e，f'（x）=e^x+2x-1．                …（2分）
设g（x）=e^x+2x-1，则g（0）=0，且g'（x）=e^x+2>0．
所以，g（x）在（-∞，+∞）上单增，且
当x>0时，g（x）>g（0）=0；当x<0时，g（x）即 当x>0时，f′（x）>0；当x<0时，f'（x）<0．
综上，函数f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（-∞，0）．              …（4分）
（2）f'（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x
①当a>1，若x>0，则a^x>1，lna>0，所以f'（x）>0
若x<0，则a^x<1，lna>0，所以f'（x）<0
②当00，则a^x<1，lna<0，所以f'（x）>0
若x<0，则a^x>1，lna<0，所以f′（x）<0，
所以f（x）在（-∞，0）上减，（0，+∞）上增．…（6分）
所以f（x）_min=f（0）=1-a，…（8分）
（3）由（2）得：a>0，a≠1，f（x）_min=1-a．
（ⅰ）若1-a>0即0min=1-a>0，函数f（x）不存在零点．…（10分）
（ⅱ）若1-a<0即a>1时，f（x）_min=1-a<0．
f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（-∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增．
f（a）=a^a+a²-alna-a>a²-alna-a=a（a-lna-1）．
令t（a）=a-lna-1，（a>1），t′(a)=1-(1)/(a)>0，所以t（a）在（1，+∞）递增；
所以t（a）>t（1）=0．所以f（a）>0．故f（x）在（0，a）有一个零点．       …（12分）
又f（-a）>a²-a>0，
故f（x）在（-a，0）有一个零点．                                      …（14分）
所以f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有2个零点．
综上：①0<a<1时，函数f（x）不存在零点；②a>1时，函数f（x）有2个零点． …（16分）