已知函数f（x）=eax-ax+e2-4，x∈[-2，2]（a≠0，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）的最大值；（3）如果对于一切x1、x2、x3∈（-2，2），总存在以f（x1）、f（x2）、f

Question

已知函数f（x）=e^ax-ax+e²-4，x∈[-2，2]（a≠0，e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的最大值；
（3）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈（-2，2），总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解（1）：由f（x）=e^ax-ax+e²-4，得f′（x）=ae^ax-a．
∴f″（x）=a²e^ax>0，
∴f′（x）在（-2，2）上单调递增，
∵f′（0）=0，
∴当x<0时，f′（x）当x>0时，f′（x）>f′（0）=0，
∴f（x）的减区间为[-2，0），增区间为（0，2]；
（2）由（1）可知，[f（x）]_max=max{f（-2），f（2）}，
∴f（2）-f（-2）=e^2a-2a+e²-4-（e^-2a+2a+e²-4）=e^2a-e^-2a-4a，
设g（a）=e^2a-e^-2a-4a，
则g′（a）=2（e^2a-e^-2a-2）≥2（2√(e2a•e-2a)-2）=0，
当且仅当a=0时取等号，
∴g（a）在R上单调递增，
∴当a>0时，g（a）>g（0）=0，则f（2）>f（-2），
当a<0时，g（a）<g（0）=0，则f（2）<f（-2），
综上f（x）_max=

e2a-2a+e2-4，a>0

e-2a+2a+e2-4，a<0

（3）f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形的充要条件是2f（x）_min>f（x）_max>0，
由（1）可知，f（x）在[-2，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，
故f（x）在（-2，2）上存在唯一的极小值，即最小值，
∴当x=0时，f（x）_min=f（0）=1+e²-4=e²-3，
∴f（x）_min>0，
当x∈[-2，2]时，[f（x）]_max=max{f（-2），f（2）}，
∴f（x）_max>0，
从而当x∈[-2，2]时，f（x）>0，
∴充要条件转化为

2f(0)≥f(2)

2f(0)≥f(-2)

，
即为

e2a-2a≤e2-2

e-2a+2a≤e2-2

设h（t）=e^x-t-e²+2，t=2a，
∴h′（t）=e^t-1，
当t<0时，h′（t）<0，
当t>0时，h′（t）>0，
∴h（t）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
又h（2）=0，h（-2）=e^-2+4-e²<0，
∴当a∈[-1，0）∪（0，1]时，
h（a）≤0，h（-a）≤0，满足题意，
当a>1时，h（2a）>h（2）=0，即e^2a-2a>e²-2，不合题意，
当a<-1时，h（-2a）>0，即e^-2a+2a>e²-2，不合题意，
综上所述a的取值范围为[-1，0）∪（0，1]