（2014•南昌一模）已知函数f（x）=ax-bxlnx，其图象经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）．（1）求实数a、b的值；（2）若k∈Z，且k＜f(x)x−1对任意x＞1

Question

（2014•南昌一模）已知函数f（x）=ax-bxlnx，其图象经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜(f(x))/(x−1)对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²（n∈N^*，n＞1）．

Answer 1

（1）∵f（1）=1，
∴a=1，
∵f（x）=x-bxlnx，
∴f'（x）=1-b（1+lnx），
依题意f'（e）=1-b（1+lne）=3，
∴b=-1，
（2）由（1）知：f（x）=x+xlnx
当x＞1时，设g(x)＝(f(x))/(x−1)＝(x+xlnx)/(x−1)，
则g′(x)＝(x−2−lnx)/((x−1)2)
设h（x）=x-2-lnx，
则h′(x)＝1−(1)/(x)＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使h（x₀）=0，
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上为减函数；
同理g（x）在（x₀，+∞）上为增函数，从而g（x）的最小值为g(x0)＝(x0+x0lnx0)/(x0−1)＝x0，
∴k＜x₀∈（3，4），k的最大值为3，
（3）由（2）知，当x＞1时，(f(x))/(x−1)＞3，
∴f（x）＞3x-3，
即x+xlnx＞3x-3，
xlnx＞2x-3
∴2ln2+3ln3+…+nlnn＞（2×2-3）+（2×3-3）+…+（2n-3）=2（2+3+…+n）-3（n-1）=2×((n−1))/(2)(2+n)−3n+3=n²-2n+1=（n-1）²．