已知函数f（x）=elnx+kx（其中e是自然对数的底数，k为正数）（I）若f（x）在x0处取得极值，且x0是f（x）的一个零点，求k的值；（Ⅱ）若k∈（1，e]，求f（x）在区间[1e，1]上的最大值．

Question

已知函数f（x）=elnx+(k)/(x)（其中e是自然对数的底数，k为正数）
（I）若f（x）在x₀处取得极值，且x₀是f（x）的一个零点，求k的值；
（Ⅱ）若k∈（1，e]，求f（x）在区间[(1)/(e)，1]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）=elnx+(k)/(x)，所以f′(x)＝(e)/(x)−(k)/(x2)．
由已知得f'（x₀）=0，即(e)/(x0)−(k)/(x20)＝0，∴x0＝(k)/(e)
又f（x₀）=0，即eln(k)/(e)+e＝0，∴k=1；
（Ⅱ）f′(x)＝(e)/(x)−(k)/(x2)＝(e(x−(k)/(e)))/(x2)，
∵1＜k≤e，∴(1)/(e)≤(k)/(e)≤1，
由此得x∈((1)/(e)，(k)/(e))时，f（x）单调递减；x∈((k)/(e)，1)时，f（x）单调递增．
故fmax(x)∈{f((1)/(e))，f(1)}
又f((1)/(e))＝ek−e，f(1)＝k，当ek-e＞k，即(e)/(e−1)＜k＜e时，fmax(x)＝f((1)/(e))＝ek−e．
当ek-e≤k，即1＜k＜(e)/(e−1)时，f_max（x）=f（1）=k．