已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为32，若函数g（x）=13x3+x2[f′（x）+m2]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取

Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为(3)/(2)，若函数g（x）=(1)/(3)x³+x²[f′（x）+(m)/(2)]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

解　（1）f′（x）=(a(1-x))/(x)（x＞0），
①当a＞0时，若x∈（0，1），则f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），则f′（x）＜0，
∴当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；
②当a＜0时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a＜0时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
③当a=0时，f（x）=-3，f（x）不是单调函数，无单调区间．
（2）由题意知，f′（4）=-(3a)/(4)=(3)/(2)，得a=-2，则f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=(1)/(3)x3+x2(2-(2)/(x)+(m)/(2))=(1)/(3)x³+（(m)/(2)+2）x²-2x，
∴g′（x）=x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g′（0）=-2＜0，
∴

g′(1)＜0

g′(3)＞0

，即

1+(m+4)-2＜0

32+3(m+4)-2＞0

解得-(19)/(3)＜m＜-3．
故m的取值范围是（-(19)/(3)，-3）．