若函数f（x）=lnx，g（x）=x-2x．（1）求函数φ（x）=g（x）-kf（x）（k＞0）的单调区间；（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Question

若函数f（x）=lnx，g（x）=x-(2)/(x)．
（1）求函数φ（x）=g（x）-kf（x）（k＞0）的单调区间；
（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数φ（x）=x-(2)/(x)-klnx的定义域为（0，+∞）．
φ′（x）=1+(2)/(x2)-(k)/(x)=(x2−kx+2)/(x2)，记函数g（x）=x²-kx+2，其判别式△=k²-8
①当△=k²-8≤0即0＜k≤2√(2)时，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在区间（0，+∞）上递增．
②当△=k²-8＞0即k＞2√(2)时，方程g（x）=0有两个不等的实根x₁=(k−√(k2−8))/(2)＞0，x₂=(k+√(k2−8))/(2)＞0．
若x₁＜x＜x₂，则g（x）＜0，∴φ′（x）＜0，∴φ（x）在区间（x₁，x₂）上递减；
若x＞x₂或0＜x＜x₁，则g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在区间（0，x₁）和（x₂，+∞）上递增．
综上可知：当0＜k≤2√(2)时，φ（x）的递增区间为（0，+∞）；当k＞2

作业帮用户 2017-10-14

问题解析

（1）先求出函数的定义域，求出导函数φ′（x）=(x2−kx+2)/(x2)因为x²＞0，要判断φ′（x）的正负就要研究g（x）=x²-kx+2的符号，讨论△的正负即可得到g（x）的正负即可得到φ′（x）的正负，即可得到函数的单调区间．（2）由xf（x）≥ax-a解出a≤(xlnx)/(x−1)，设h（x）=(xlnx)/(x−1)，所以求出h′（x），讨论h（x）的增减性得到h（x）的最小值．让a小于等于最小值即可得到a的范围．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

考查学生会分区间讨论导函数的正负得到函数的增减性，会利用导数求闭区间上函数的最值．学生做题时应掌握不等式恒成立是所取的条件．

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