已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）函数g（x）=（1-a）x，若∃x0∈[1，e]使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值

Question

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）函数g（x）=（1-a）x，若∃x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数的导数f′（x）=2x-（2a+1）+(a)/(x)=(2x2-(2a+1)x+a)/(x)=((2x-1)(x-a))/(x)                         （2分）
当导函数f′（x）的零点x=a落在区间（1，2）内时，
函数f（x）在区间[1，2]上就不是单调函数，
所以实数a的取值范围是：a≥2或a≤1；　（6分）
（也可以转化为恒成立问题．酌情给分．）
（2）由题意知，不等式f（x）≥g（x）在区间[1，e]上有解，
即x²-2x+a（lnx-x）≥0在区间[1，e]上有解．         （7分），
∵当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x（不同时取等号），
∴lnx-x<0，
∴a≤(x2-2x)/(x-lnx)在区间[1，e]上有解．  （8分）
令　h(x)=(x2-2x)/(x-lnx)，则h′（x）=((x-1)(x+2-2lnx))/((x-lnx)2)  （9分）
∵x∈[1，e]，∴x+2>2≥2lnx，
∴h′（x）≥0，则h（x）单调递增，
∴x∈[1，e]时，h（x）的最大值为h（e）=(e(e-2))/(e-1)，（11分）
∴a≤(e(e-2))/(e-1)  
则实数a的取值范围是（-∞，(e(e-2))/(e-1)]（12分）
（也可以构造函数F（x）=x²-2x+a（lnx-x），分类讨论．酌情给分）