求n阶矩阵的逆矩阵,该矩阵主对角线上全为0,其余全为1答案是1/（n-1）乘上一个对角线上全是2-n其余全为1的n阶矩阵我不知道步骤怎么求

Question

求n阶矩阵的逆矩阵,该矩阵主对角线上全为0,其余全为1
答案是 1/（n-1）乘上一个对角线上全是 2-n 其余全为1 的n阶矩阵 我不知道步骤怎么求

Answer 1

利用矩阵乘法性质,直接猜想.
设原矩阵为A,其逆矩阵为B.则BA的第一行第一列的数为1,而这个数是B的第一行的元素乘A的第一列的对应元素后再加起来的和.由于A对角线上全为0,其余全为1,故这个和就是B第一行除第一列上的元素外其余元素之和.再者,BA第一行的其它元素都为0.考虑BA第一行的i,j列上的元素(i,j>1).第i列上的元素是B的第一行除第i列上的元素外其余元素之和,第j列上的元素是B的第一行除第j列上的元素外其余元素之和,但BA第一行的i,j列上的元素都为0,这表明B第一行第i列上的元素跟第j列上的元素相等.这就知道B第一行除第一列上的元素外其余都为1/(n-1).对B的其他行也作类似讨论即可得：B除对角元外其余元皆为1/(n-1).容易用方程求出对角元皆为(2-n)/(n-1).故B为1/（n-1）乘上一个对角线上全是 2-n 其余全为1 的n阶矩阵.