已知函数f（x）=2lnx-x2（x＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间与最值；（2）若方程2lnx+mx-x3=0在区间[1e，e]内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；（其中e为自然对数的底数）

Question

已知函数f（x）=2lnx-x²（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间与最值；
（2）若方程2lnx+mx-x³=0在区间[(1)/(e)，e]内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；
（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

（1）求导函数可得f′（x）=(2(1−x)(1+x))/(x)（x＞0）
∵x＞0，∴令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1，
∴函数的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
当x=1时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为-1，无最小值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化为-m=2lnx-x²，由（1）知，f（x）在区间[(1)/(e)，e]上的最大值为-1，f（ (1)/(e)）=-2-(1)/(e2)，f（e）=2-e²，f（e）＜f（ (1)/(e)）．
∴f（x）在区间[(1)/(e)，e]上的最小值为-2-(1)/(e2)．
故-m=2lnx-x²在区间[(1)/(e)，e]上有两个不等实根需满足-2-(1)/(e2)≤-m＜-1，
∴1＜m≤2+(1)/(e2)，
∴实数m的取值范围为（1，2+(1)/(e2)]．