（2014•葫芦岛二模）设函数f（x）=x2+ax-2lnx，常数a∈R（1）求f（x）的单调区间；（2）设-3＜a＜3，记f（x）的极小值为fmin（x），若不等式b-2ln2＜f（x）min＜b+4-2ln2恒成立，求b的取值范围．

Question

（2014•葫芦岛二模）设函数f（x）=x²+ax-2lnx，常数a∈R
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设-3＜a＜3，记f（x）的极小值为f_min（x），若不等式b-2ln2＜f（x）_min＜b+4-2ln2恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=(2x2+ax−2)/(x)（x＞0，a∈R），
注意到-a-√(a2+16)＜0＜-a+√(a2+16)      
则f（x）在（0，(−a+√(a2+16))/(4)）单调递减，（(−a+√(a2+16))/(4)，+∞）单调递增
（2）设极小值点为x=t，则f′（t）=0
∴2t²+at-2=0
∴a=(2−2t2)/(t)，
根据|a|＜3
∴(|2−2t2|)/(|t|)＜3
∴（2t²-2）²-（3t）²＜0（t＞0）
∴t∈（(1)/(2)，2）
此时f_极小（x）=f（t）=t²+at-2lnt=t²+t⋅(2−2t2)/(t)-2lnt=2-t²-2lnt，t∈（(1)/(2)，2）
设g（t）=2-t²-2lnt，t∈（(1)/(2)，2）
∴g′（t）=-(2(t2+1))/(t)＜0
∴g（t）在（(1)/(2)，2）单调递减
∴g（2）＜g（t）＜g（(1)/(2)）
∴g（t）∈（-2-2ln2，(7)/(4)+2ln2）
∴-2-2ln2＜f_极小（x）＜

作业帮用户 2017-09-30 举报

问题解析

（1）写出函数f（x）的定义域，求出f'（x），通过解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得单调区间；
（2）不等式b-2ln2＜f（x）_min＜b+4-2ln2恒成立，只要求出f（x）的最小值，从而求出实数b的取值范围；

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式的证明等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求较高．

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