已知函数f（x）=xex+x2+ax+b，在点（0，f（0））处的切线方程是x+y-1=0，其中e为自然对数的底数，函数g（x）=lnx-cx+1+c（c>0），对一切x∈（0，+∞），均有g（x）≤1恒成立．（1）求a，b，c的值

Question

已知函数f（x）=xe^x+x²+ax+b，在点（0，f（0））处的切线方程是x+y-1=0，其中e为自然对数的底数，函数g（x）=lnx-cx+1+c（c>0），对一切x∈（0，+∞），均有g（x）≤1恒成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：f（x）+xg（x）>4√(x)-2．

Answer 1

（1） 函数f（x）=xe^x+x²+ax+b的导数为
f′（x）=e^x+xe^x+2x+a，
在点（0，f（0））处的切线方程是x+y-1=0，
即有f（0）=1，f′（0）=-1，则b=1，a=-2，
对一切x∈（0，+∞），均有g（x）≤1恒成立，
即有lnx-cx+c≤0对x>0恒成立．
由于（lnx-cx+c）′=(1)/(x)-c（c>0），则lnx-cx+c在x>(1)/(c)递减，在0<x<(1)/(c)递增．
则有ln(1)/(c)-1+c≤0，即为lnc+1≥c，
但lnx+1-x的导数为(1)/(x)-1，在x>1递减，在0<x<1递增，则在x=1处取得极大值，也为最大值，
则lnc+1≤c，故lnc+1=c，解得，c=1，
则有a=-2，b=1，c=1；
（2）证明：要证f（x）+xg（x）>4√(x)-2，
即证xe^x+x²-2x+1+xlnx-x²+2x-4√(x)+2>0，
即证xe^x+xlnx-4√(x)+3>0，
由于e^x-x-1的导数为e^x-1，当x>0递增，x<0递减，则e^x≥x+1，
xlnx的导数为lnx+1，当x>(1)/(e)时递增，0<x<(1)/(e)递减，则有x=(1)/(e)处取得极小值也为最小值，且为-(1)/(e)，
则有xe^x+xlnx-4√(x)+3>x（x+1）-(1)/(e)-4√(x)+3，
令t=√(x)，则上式的右边即为t⁴+t²-4t+3-(1)/(e)，对它求导，得f（t）=4t³+2t-4，
由于f（0）f（1）<0，则在（0，1）存在一个根t₀，易得即为极小值点，也为最小值点，
可得t₀⁴+t₀²-4t₀+3-

作业帮用户 2017-05-16

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