f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x∈（1，+∞），x满足f（x）<0，求实数a的取值范围．

Question

f（x）=e^x（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在实数x∈（1，+∞），x满足f（x）<0，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=e^x（2x+1）-a，
a=1时，f′（x）=e^x（2x+1）-1，
f′（0）=0，且函数f′（x）在R上单调递增，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）由f（x）<0，则e^x（2x-1）-ax+a<0，e^x（2x-1）∵x>1，∴a>(ex(2x-1))/(x-1)，
令g（x）=(ex(2x-1))/(x-1)，则g′（x）=(ex(2x+1)(x-1)-ex(2x-1))/((x-1)2)=(ex(2x2-3x))/((x-1)2)，
∴函数g（x）在(1，(3)/(2))上单调递减；在((3)/(2)，+∞)上单调递增．
∴当x=(3)/(2)时，函数g（x）取得极小值即最小值，g((3)/(2))=4e(3)/(2)．
∴x>1时，a>4e(3)/(2)．
∴实数a的取值范围是(4e(3)/(2)，+∞)．