设函数f(x)=x2+bln(x+1)设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（I）若对定义域内的任意x,都有f（x）≥f（1）成立,求实数b的值；（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数,求实数b的取值范围；（III）若b=-1,

Question

设函数f(x)=x2+bln(x+1)
设函数f（x）=x2+bln（x+1）．
（I）若对定义域内的任意x,都有f（x）≥f（1）成立,求实数b的值；
（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数,求实数b的取值范围；
（III）若b=-1,证明对任意的正整数n,不等式
n
k=i
f(
1
k
)＜1+
1
2 3
+
1
3 3
+…+
1
n 3

Answer 1

（I)
f（x）=x2+bln（x+1）．定义域(-1,+∞）
x>-1时,f（x）≥f（1）成立,
即f(x)min=f(1)
f'(x)=2x+b/(x+1)=(2x²+2x+b)/(x+1)
则需f'(1)=0,即2+2+b=0
∴b=-4
此时f'(x)=2(x+2)(x-1)/(x+1)
-10
∴f(x)min=f(1)
∴b=-4符合题意
（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数
即x>-1时,f'(x)≥0恒成立,
即2x²+2x+b≥0,b≥-2x²-2x恒成立
∵-2x²-2x=-2(x+1/2)²+1/2
∴x=-1/2时,-2x²-2x取得最大值1/2
∴b≥-1/2
(III)
∵b=-1>-1/2
∴f(x)=x²-ln(x+1)是增函数
后面的式子看不清